Question

如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的线段，PA=10，PB=5，
求：（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）；
（2）cos∠BAP的值．

Answer 1

分析：（1）由PA为圆O的切线，可得出∠PAB为弦切角，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角，可得出∠PAB=∠C，再由∠APB与∠CAP为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ABP与三角形CAP相似，根据相似三角形成比例列出比例式，将PA及PB的值代入，求出CP的长，再由CP-BP求出直径CB的长，进而确定出半径的值，利用圆的面积公式即可求出圆O的面积；
（2）∠PAB=∠C，故要求cos∠BAP，即要求cosC，由BC为直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出三角形ABC为直角三角形，根据锐角三角函数定义，∠C的邻边AC与斜边CB的比值即为cosC的值，由第一问得出的三角形相似，用对应边AP比CP求出相似三角形的对应边之比为1：2，可设AB=k，则有AC=2k，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出AC的长，即可求出cosC的值，即为cos∠BAP的值．

解答：解：（1）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠APB=∠CPA，
∴△ABP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

BP

AP

，即AP²=BP•CP，
又PA=10，PB=5，
∴10²=5CP，即CP=20，
∴BC=CP-BP=20-5=15，
∴圆的半径OB=

15

2

，
则圆O的面积为π•（

15

2

）²=

225π

4

；
（2）∵△ABP∽△CAP，PA=10，CP=20，
∴

AP

CP

=

AB

CA

=

1

2

，
设AB=k，则CA=2k，
又CB为圆O的直径，∴∠CAB=90°，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：k²+（2k）²=15²，
解得：k=3

5

，
∴AC=6

5

，
∵∠PAB=∠C，
∴cos∠PAB=cosC=

AC

BC

=

6 5

15

=

2 5

5

．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及锐角三角函数定理，利用了转化及方程的思想，其中弦切角等于夹弧所对的圆周角，熟练掌握此性质是解本题的关键．