Question

3．如图，在△ABC中，AB=BC，∠CAB=30°，AC=8，半径为2的⊙O从点A开始（如图1）沿直线AB向右滚动，滚动时始终与直线AB相切（切点为D），当⊙O与△ABC只有一个公共点时滚动停止，作OG⊥AC于点G．
（1）图1中，⊙O在AC边上截得的弦长AE=2；
（2）当圆心落在AC上时，如图2，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）在⊙O滚动过程中，线段OG的长度随之变化，设AD=x，OG=y，求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出∠OAC=60°，进而得出△OAE是等边三角形即可；
（2）先求出OC=4，再求出∠C=30°，进而求出OH=2=OD即可；
（3）分两种情况，点O在AC左侧和右侧，先利用锐角三角函数表示出FD进而得出OF，最后用锐角三角函数即可得出结论．

解答 解：（1）∵⊙O与直线AB相切于点D，
∴∠ODB=90°，
当点D与点A重合时，
连接OA，OE，
∴OA=OE，
∵∠BAC=30°，
∴∠OAC=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴AE=OA=2，
故答案为2；

（2）BC与⊙O相切，
理由：如图2，过点O作OH⊥BC于H，连接OD，
∵⊙O与AB相切于D，
∴OD⊥AB，
在Rt△AOD中，∠A=30°，
∴OA=2OD=4，
∵AC=8，
∴OC=4，
在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠BAC=30°，
在Rt△OHC中，∠C=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OC=2=OD，
∴BC与⊙O相切，

（3）①当点O在AC的左侧时，
连接OD交AC于F，如备用图1，
∵⊙O与AB相切于D，
∴OD⊥AB，
∵OG⊥AC，
∴∠FOG=∠BAC=30°，
在Rt△FDA中，tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OF=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△FOG中，y=OG=OF•cos∠FOG=（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{3}$，
x的取值范围为0≤x≤2$\sqrt{3}$；
②当点O在AC的右侧时，
连接DO并延长交AC于F，如备用图2，
同①的方法得，FD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∵FD⊥AB，
∴∠BAC+∠AFD=90°，
∴∠FOG=∠BAC=30°，
在Rt△FOG中，y=OG=OF•cos∠FOG=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{3}$，
x的取值范围为2$\sqrt{3}$≤x≤$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出∠OAC=60°，解（2）的关键是求出OH=2，解（3）的关键是分两种情况求出OF，解本题的重点是作出辅助线，是一道中等难度的题目．