Question

如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）计算S_△AOB；
（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S_△POA=S_△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）

Answer 1

分析：（1）作OC⊥AB，解直角三角形即可；或利用特殊角的三角函数值计算也可．
（2）先求出三角形的底，高在（1）题中已知．利用面积公式即可计算．
（3）根据弧长公式计算即可．

解答：解：（1）作OC⊥AB．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°．
∴OC=1，AC=

3

．
∴tan∠OAB=

3

3

．                   （4分）

（2）AC=

3

，∴AB=2

3

．
∴S_△AOB=2

3

×1÷2=

3

（cm²）．     （8分）

（3）如图，延长BO交⊙O于点P₁，
∵点O是直径BP₁的中点，
S_△AP1O=

1

2

AD×P₁O，
S_△AOB=

1

2

AD×BO，
∵P₁O=BO，
∴S_△P1OA=S_△AOB，∠AOP₁=60°．
∴

AP1

的长度为

2

3

π（cm）．           （10分）
作点A关于直径BP₁的对称点P₂，连接AP₂，OP₂，AP₃，

易得S_△P2OA=S_△AOB，∠AOP₂=120°．
∴

AP2

的长度为

4

3

π（cm）．           （11分）
过点B作BP₃∥OA交⊙O于点P₃，
则P₂P₃直径，
易得S_△P3OA=S_△AOB，
∴

ABP3

的长度=

300π×2

180

=

10

3

π（cm）．        （12分）

点评：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．