Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；
（3）试探究t为何值时，CP=CQ；
（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）分三种情况：①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH=$\frac{1}{2}$BQ=4-2t，PB=5t，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BH}{BC}$，即：$\frac{5t}{10}=\frac{4-2t}{8}$解得t=$\frac{2}{3}$，②当PB=BQ时，即5t=8-4t，解得t=$\frac{8}{9}$，③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$t，BQ=8-4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式$\frac{BG}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，解得：t=$\frac{64}{57}$．
（3）先利用勾股定理表示出CP²，建立方程求解即可求出时间t；
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm；
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得，t=$\frac{32}{41}$；
∴t=1或$\frac{32}{41}$时，△BPQ∽△BCA；
（2）分三种情况：
①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH=$\frac{1}{2}$BQ=4-2t，PB=5t，
∴PH∥AC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BH}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{4-2t}{8}$解得：t=$\frac{2}{3}$，
②当PB=BQ时，即5t=8-4t，
解得：t=$\frac{8}{9}$，
③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$t，BQ=8-4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{BQ}{AB}$即$\frac{\frac{5}{2}t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
解得：t=$\frac{64}{57}$．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：$\frac{2}{3}$或$\frac{8}{9}$或$\frac{64}{57}$．

（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，CQ=4t，
根据勾股定理得，CP²=PM²+MC²=25t²-64t+64，
∵CP=CQ
∴25t²-64t+64=16t²，
∴t=$\frac{64-24\sqrt{2}}{18}$=$\frac{32-12\sqrt{2}}{9}$或t=$\frac{32+12\sqrt{2}}{9}$（舍），
∴CP=CQ时，t=$\frac{32-12\sqrt{2}}{9}$；
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示
则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$，
∴$\frac{6}{8-4t}=\frac{4t}{3t}$，解得t=$\frac{7}{8}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．