Question

9．如图，在正方形ABCD中，分别以AD，BC为斜边作Rt△ADE和Rt△CBF，且Rt△ADE≌Rt△CBF，连结EF，若S_{正方形ABCD}=20，S_△ADE=3，则EF=4．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形和高线，先根据已知的面积求出正方形边长和ME的长，再根据等量关系式：①DE²+AE²=AD²，②DM+AM=AD，列方程组求出x的值，即DE²=2，再计算EG和FG的长，最后利用勾股定理求EF的长．

解答 解：如图，过E作EM⊥AD，EN⊥DC，垂足分别为M、N，过F作FH⊥BC于H，过F作BC的平行线与ME的延长线交于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴△EGF是直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=20，
∴AD=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△ADE=3，
∴$\frac{1}{2}$AD•ME=3，
则$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×ME=3，
∴ME=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
设DE²=x，AE²=y，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=20}\\{\sqrt{x-M{E}^{2}}+\sqrt{y-M{E}^{2}}=\sqrt{20}}\end{array}\right.$，
y=20-x，ME²=（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$，
则$\sqrt{x-\frac{9}{5}}$+$\sqrt{20-x-\frac{9}{5}}$=$\sqrt{20}$，
化简得：x²-20x=-36，
解得：x₁=18（舍），x₂=2，
∴DE²=2，
∴NE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{9}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴FH=EM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴EG=2$\sqrt{5}$-2ME=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
FG=2$\sqrt{5}$-2NE=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得：EF²=EG²+FG²，
∴EF=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{16}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，在四边形中常利用勾股定理求边的长，本题的关键是作辅助线，构建直角三角形和三角形的高线，巧妙地根据勾股定理列方程组，使问题得以解决，另外本题的计算量大，容易出错，要细心．