已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
解:(1)证明:连接AC. ∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2. ∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2, ∴AB=BC. (2)证明:过C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形.∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°, ∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF.∴AE=BF. ∴BE=BF+EF=AE+CD. 思路分析:(1)题目中存在直角,垂直,含线段平方的等式,因此考虑连接AC,构造直角三角形,利用勾股定理证明;(2)可采用“截长”法证明,过点C作CF⊥BE于F,易证CD=EF,只需再证明AE=BF即可,这一点又可通过全等三角形获证. 方法规律:此题主要考查推理证明能力,涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识.灵活添加辅助线,构造所需图形是证明关键所在. |
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