Question

11．已知：如图，A、C、B在同一直线上，△ADC和△BCE都是正三角形，DB、EA分别交CE、DC于G、F．求证：
（1）∠BDC=∠EAC；
（2）GC=FC；
（3）△CFG是正三角形；
（4）FG∥AB．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，CB=EC，推出∠ACE=∠DCB，得到∠ACD=∠ECD．证得△AEC≌△DBC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠BDBC，推出△DCG≌△ACF（ASA），即可得到结论；
（3）由（2）知CG=CF，根据∠DCE=60°，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（4）由（3）知△CFG是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠FGC=∠GCB=60°，根据平行线的判定即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE═60°，AC=DC，CB=EC
∴∠ACD+∠ECD=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
∵A，B，C在同一直线上，
∴∠ACB=180°，
∴∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠ECD．
在△AEC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCE}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DBC（SAS），
∴∠BDC=∠EAC；

（2）∵△AEC≌△DBC，
∴∠EAC=∠BDBC，
在△DCG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠BDC}\\{AC=DC}\\{∠DCE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△ACF（ASA），
∴CG=CF；

（3）由（2）知CG=CF，
∵∠DCE=60°，
∴△CFG是等边三角形；

（4）由（3）知△CFG是等边三角形，
∴∠FGC=∠GCB=60°，
∴FG∥AB．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．