Question

9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并说明理由（结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试判断DC与BE是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠AEB=∠ADC，进而得出∠AEC=90°，就可以得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）DC⊥BE，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠ADC+∠AFD=90°，
∴∠AEB+∠AFD=90°，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AEB+∠CFE=90°，
∴∠FCE=90°，
∴DC⊥BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．