Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第一象限内作等边△AOB，点C在x的正半轴上，且OC＞1，连接BC，以线段BC为边在第一象限内作等边△CBD．
（1）求证：△OBC≌△ABD；
（2）当点C沿x轴向右移动时，直线DA交y轴于点P，求点P坐标．

Answer 1

分析：（1）由等边△AOB，等边△CBD得OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，所以，∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，从而△OBC≌△ABD．
（2）由（1）得∠BAD=∠BOC=60°，可推出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，OA=1，则求出OP，从而求出点P坐标．

解答：（1）证明：已知等边△AOB，等边△CBD，∴∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
∴OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD．

（2）解：由（1）可知∠BAD=∠BOC=60°，
∵∠OAP+∠OAB+∠BAD=180°，∴∠OAP=60°．
在△OAP中，∠AOP=90°，tan∠OAP=

OP

OA

，
∴OP=OA•tan60°=

3

．（7分）
∴当点C沿x轴向右移动时，求点P的坐标为（0，-

3

）．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形、坐标与图形性质，关键是两等边三角形证明三角形全等，及推出∠OAP=60°通过解直角三角形求P的坐标．