Question

如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…如此进行下去得到四边形A_nB_nC_nD_n．
（1）证明：四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）写出四边形A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂的面积；
（3）写出四边形A_nB_nC_nD_n的面积；
（4）求四边形A₅B₅C₅D₅的周长．

Answer 1

分析：（1）由A₁D₁分别是△ABD的中位线，B₁C₁是△CBD的中位线知，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=

1

2

BD，故四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁知，四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=

1

2

BD=4，B₁A₁=

1

2

AC=3，故矩形A₁B₁C₁D₁的面积为12，可以得到故四边形A₂B₂C₂D₂的面积是A₁B₁C₁D₁的面积的一半，为6；
（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为24×

1

2n

；
（4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A₅B₅C₅D₅的边长，再求得它的周长．

解答：（1）证明：∵点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=

1

2

BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=

1

2

BD
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）解：由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=

1

2

BD=4，B₁A₁=

1

2

AC=3，
得：四边形A₁B₁C₁D₁的面积为12；四边形A₂B₂C₂D₂的面积为6；

（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为24×

1

2n

；

（4）解：方法一：由（1）得矩形A₁B₁C₁D₁的长为4，宽为3．
∵矩形A₅B₅C₅D₅∽矩形A₁B₁C₁D₁
∴可设矩形A₅B₅C₅D₅的长为4x，宽为3x，则4x•3x=

1

25

×24，
解得x=

1

4

∴4x=1，3x=

3

4

∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=2•(1+

3

4

)=

7

2

方法二：矩形A₅B₅C₅D₅的面积/矩形A₁B₁C₁D₁的面积
=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²/（矩形A₁B₁C₁D₁的周长）²
即

3

4

：12=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²：14²
∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=

3 4 × 1 12 ×142

=

7

2

．

点评：本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．