Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线=ax²+bx+c（a≠0）经过C、D、B三点．注：抛物线的顶点坐标为
（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意C（-2，0），D（0，4），设抛物线的解析式y=ax²+bx+4，代入得到方程组

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，求出方程组的解即可；
（2）由（1）得P（1，

9

2

），连接PA、PB过点P作PE⊥Y轴于点E，根据S_△PAB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB即可求出答案；
（3）设存在点M，其坐标为M（x，y），则

1

2

|y|×6=6得出y=±2，代入解析式即可求出x，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意C（-2，0），D（0，4），
则可设抛物线的解析式y=ax²+bx+4，
依题意

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，
∴

a=- 1 2 b=1

，
∴y=-

1

2

x²+x+4，
答：抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+x+4．

（2）由（1）得P（1，

9

2

），
连接PA、PB过点P作PE⊥Y轴于点E
则S_△PAB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB=6，
答：△PAB的面积是6．

（3）设存在点M，其坐标为M（x，y），则

1

2

|y|×6=6，
∴y=±2，
当y=2时，-

1

2

x²+x+4=2，解得：x=1±

5

，
当y=-2时，-

1

2

x²+x+4=-2，解得：x=1±

13

，
∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．
答：在抛物线上存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，点M的坐标是
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．

点评：本题主要考查对解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．