Question

12．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E．
（1）连接AE，证明：∠EAC=∠B．
（2）求证：DE²=BE•CE．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线性质求出AE=DE，求出∠EAD=∠EDA，根据角平分线定义得出∠CAD=∠BDA，即可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定得出△EAC∽△EBA，得出比例式，即可得出答案．

解答 证明：（1）
∵EM是AD的中垂线，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BDA，
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠EAC=∠B；

（2）在△EAC和△EBA中，
∠AEC=∠AEC，∠EAC=∠B，
∴△EAC∽△EBA，
∴$\frac{EA}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE，
∵DE=AE，
∴DE²=BE•CE．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点，能求出∠EAC=∠B是解此题的关键．