Question

已知：AB是⊙O的直径，MN⊥AB，垂足为N，P、Q是

AM

、

BM

上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，给出下列结论：
①∠1=∠2；②∠Q=∠PMN；③MN²=PN•QN；④PM=QM．
则其中正确的结论有

 

．（只填写正确结论的序号）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：利用等角的余角相等得到①对．利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得②对；利用三角形相似得③对，④错．

解答：解：如图，延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，
∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
则∠1=∠2，故①正确；
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，

AM

=

DA

，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C关于AB对称，

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，
∴∠Q=∠PMN，故②正确；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故③正确，④错误
故答案为：①②③．

点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．