Question

已知抛物线y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n为常数)．

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．

①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知条件，得n2－1＝0………………………………1分 　　解这个方程，得n1＝1，n2＝－1…………………2分 　　当n＝1时，得y＝x2＋x，此抛物线的顶点不在第四象限． 　　当n＝－1时，得y＝x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限．………………4分 　　∴所求的函数关系为y＝x2－3x．………………5分 　　(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 　　∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0) 　　∴它的顶点为(，)，对称轴为直线x＝，其大致位置如图所示，………………6分 　　①∵BC＝1，由抛物线和矩形的对称性易知OB＝×(3－1)＝1． 　　∴B(1，0)……7分 　　∴点A的横坐标x＝1，又点A在抛物线y＝x2－3x上， 　　∴点A的纵坐标y＝12－3×1＝－2． 　　∴AB＝|y|＝|－2|＝2．……8分 　　∴矩形ABCD的周长为：2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6．…………9分 　　②∵点A在抛物线y＝x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x)，…………10分 　　∴B点的坐标为(x，0)．(0＜x＜) 　　∴BC＝3－2x，A在x轴下方， 　　∴x2－3x＜0， 　　∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2…………11分 　　∴矩形ABCD的周长 　　P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋…12分 　　∵a＝－2＜0， 　　∴当x＝时，矩形ABCD的周长P最大值为．………………13分 　　此时点A的坐标为A(，)．………………14分