Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC沿着直线l滚动．设△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．请你利用三角函数中正切的两角和公式：tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），求出∠CAC′+∠CAA′的度数．（　　）

A．30°

B．90°

C．60°

D．45°

Answer 1

分析：过B作BD⊥AC于D，由等边三角形性质得：AD=1=CD，求出BD，求出tan∠CAC′和tan∠CAA′，代入公式求出tan（∠CAC′+∠CAA′）的值，即可求出答案．

解答：解：∵△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′，
过B作BD⊥AC于D，由等边三角形性质得：AD=1=CD，
由因为正三角形ABC的高BD=

22-12

=

3

，
tan∠CAC′=

3

2+2+1

=

3

5

，
tan∠CAA′=

3

4×2+1

=

3

9

，
∵由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ）得：
tan（∠CAC′+∠CAA′）=（tan∠CAC′+tan∠CAA′）÷（1-tan∠CAC′•tan∠CAA′）=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）=

3

3

．
∴∠CAC’+∠CAA’=30°，
故选A．

点评：本题考查了勾股定理，解直角三角形，等边三角形性质的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力，题型较好，是一道比较好的题目．