如图，已知抛物线T：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线T上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：| x | … | -3 | -2 | 1 | 2 | … |
| y | … | -$\frac{5}{2}$ | -4 | -$\frac{5}{2}$ | 0 | … |
分析 （1）根据图表可以得到，抛物线经过的四点的坐标，根据待定系数法，把其中三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0）就可以解得函数的解析式．进而就可以求出A、B、C的坐标．
（2）易证△ADG∽△AOC，AD=2-m，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以用m表示出DG的长，再根据△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出来．因而S与m的函数关系就可以得到．
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值．
①根据S△PBC=m=1得到P到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，可以得到平行于BC且到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$的解析式，再联立抛物线解析式即可得到P点坐标；
②矩形的四个顶点的坐标就可以求出，根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式．就可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标，根据FM=k•DF，就可以表示出M的坐标，把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程，求出k的值，判断是否满足函数的解析式．
解答 解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），
任取x，y的三组值代入，求出解析式y=$\frac{1}{2}$x2+x-4，
令y=0，求出x1=-4，x2=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．
解法二：由抛物线P过点（1，-$\frac{5}{2}$），（-3，-$\frac{5}{2}$）可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵抛物线P过（2，0）、（-2，-4），
∴由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．
（2）由题意，$\frac{AD}{AO}$=$\frac{DG}{OC}$，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又$\frac{BE}{BO}$=$\frac{EF}{OC}$，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴SDEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m2（0＜m＜2）．
（3）∵SDEFG=12m-6m2（0＜m＜2），
∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．
①S△PBC=m=1，
P到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
则平行于BC且到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$的解析式为y=-x-$\frac{9}{2}$或y=-x-$\frac{7}{2}$，
联立抛物线解析式得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{9}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2-\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2+\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{5}{2}-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{7}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-2-\sqrt{5}}\\{{y}_{3}=-\frac{3}{2}+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2+\sqrt{5}}\\{{y}_{4}=-\frac{3}{2}-\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
故P点坐标为（-2-$\sqrt{3}$，-$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）或（-2+$\sqrt{3}$，-$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）或（-2-$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{5}$）（-2+$\sqrt{5}$，-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{5}$）；
②当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知k=$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$，
∴y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
又可求得抛物线P的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x2+x-4，
令$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$x2+x-4，可求出x=$\frac{-1±\sqrt{61}}{3}$．
如图，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为$\frac{-1-\sqrt{61}}{3}$，过N作x轴的垂线交x轴于H，
有$\frac{FN}{DF}$=$\frac{HE}{DE}$=$\frac{-2-\frac{-1-\sqrt{61}}{3}}{3}$=$\frac{-5+\sqrt{61}}{9}$，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠$\frac{\sqrt{61}-5}{9}$且k＞0．
点评 本题主要考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，利用函数的解析式组成的方程组求函数交点坐标的方法，相似三角形的性质，综合性较强，难度较大．
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如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（-5，2），则D点的坐标是（0，2）．查看答案和解析>>
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如图测，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F查看答案和解析>>
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如图，D是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD 的位置（B与C重合，D与D′重合），则∠ADD′的度数是（ ）| A． | 25° | B． | 30° | C． | 35° | D． | 45° |
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如图，AB是⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，切线GD与AB延长线交于点E．查看答案和解析>>
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如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h与时间t的函数图象大致是（ ）
＝
B. 
C. 
D. 