Question

已知函数y1=ax2+a2x+2b-a3，当-2＜x＜6时，y₁＞0，而当x＜-2或x＞6时，y₁＜0．
（1）求实数a，b的值及函数y1=ax2+a2x+2b-a3的表达式；
（2）设函数y2=-

k

4

y1+4(k+1)x+2(6k-1)，k取何值时，函数y₂的值恒为负？

Answer 1

分析：（1）由题意可知：-2和6为方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根，则把两根代入到方程中求出a，b并得到函数解析式即可；
（2）把y₁=-4x²+16x+48代入到y₂=-

k

4

y₁+4（k+1）x+2（6k-1）中得到y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．因为函数y₂的值恒为负数，所以得到二次项系数小于0且根的判别式△＜0，由以上两个条件组成不等式组，求出解集即可．

解答：解：（1）由题意得方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根为x₁=-2，x₂=6，
由

x1+x2=- a2 a x1•x2= 2b-a3 a

，
解得a=-4，b=-8，
代入得函数表达式为y₁=-4x²+16x+48；

（2）由（1）得y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
若函数值恒为负，
则此二次函数为开口向下与x轴无交点，
所以有

k＜0 △=42-4•k•(-2)＜0

，
解的k＜-2，
所以k＜-2时，函数y₂的值恒为负．

点评：本题考查了二次函数知识与方程知识的有机结合．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用函数图象的有关性质，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．