Question

4．如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ²的值是11-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥DE于H，AN⊥BO于N，连接AM．，首先判断得出运动2016秒后，点P在点A处，点Q在点M处，根据PQ²=AM²=AH²+HM²，计算即可解决问题．

解答 解：如图，作AH⊥DE于H，AN⊥BO于N，连接AM．

∵2016÷3=672，2016÷4=504，∵点Q比点P迟1秒出发，
∴运动2016秒后，点P在点A处，点Q在点M处（DM=ME=1），
∴PQ²=AM²=AH²+HM²
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NO=$\frac{1}{2}$，
∵∠ANE=∠NEM=∠AME=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴AH=NE，
∴AH=$\frac{5}{2}$，HM=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴PQ²=（$\frac{5}{2}$）²+（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=8-$\sqrt{3}$
故答案为8-$\sqrt{3}$

点评 本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理、矩形的判定等知识，解题的关键是判断点P、Q的位置，学会添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．