Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

Answer 1

解：（1）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
又GD⊥AC，
∴∠ADG=90°，
在△ADG中，
∠A+∠ADG+∠AGD=180°，
∴∠AGD=45°，
∴∠A=∠AGD，
∴AD=DG，又D是AC中点，
∴AD=DC，
∴DG=DC，
②由①DG=DC，
又∵DF=DE，∴DF﹣DG=DC﹣DE，
即FG=CE，
由①∠AGD=45°，∴∠HGF=180°﹣45°=135°，
又DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠CEF=180°﹣45°=135°，
∴∠HGF=∠FEC，
又HF⊥CF，
∴∠HFC=90°，
∴∠GFH+∠DFC=180°﹣90°=90°，
又Rt△FDC中，
∠DFC+∠ECF=90°，
∴∠GFH=∠ECF，在△FGH和△CEF中，
∴△FGH≌△CEF（ASA），
∴FH=FC；
（2）如图所示，△FHG≌△CFE，
不变，FH=FC．