Question

如图1，已知△ABC中，AB=AC=6，∠A=90°，D为直线BC上的点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交AC、AB于E、F．

（1）若D在线段BC上，请将图中所有的等腰直角三角形写出来：

△ABC，△BDF，△CDE

（2）若D是线段BC上的一个动点，设△BDF的面积为S₁，△CDE的面积为S₂，点D在线段BC上运动过程中，能否使S₁+S₂=10？若能，请求出BD的长；若不能，请说明理由．
（3）当点D在线段BC的延长线上（如图2），其它条件不变，试猜想线段DE、DF之间的数量关系，请直接写出等式（不需证明）．

Answer 1

分析：（1）求出四边形AEDF是矩形，根据矩形的每一个角都是直角可得∠AED=∠AFD=90°，从而得到等腰直角三角形；
（2）设BF=x，表示出AF，再根据矩形的对边相等求出DE，然后根据等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半列出方程，然后求解即可；
（3）根据矩形的对边相等可得AE=DF，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得CE=DE，从而得到DF-DE=AC．

解答：解：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵AB=AC，∠A=90°，
∴等腰直角三角形有：△ABC，△BDF，△CDE；

（2）设BF=x，则AF=AB-BF=6-x，
所以，DE=6-x，
则

1

2

x²+

1

2

（6-x）²=10，
整理得，x²-6x+8=0，
解得，x₁=2，x₂=4，
此时，BD=

2

BF=2

2

或BD=

2

BF=4

2

；

（3）DF-DE=6．理由如下：
∵四边形AEDF是矩形，
∴AE=DF，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，
∴DF-DE=AC=6．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，综合题，但难度不大，熟记性质与判定是解题的关键．