Question

【题目】已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD

(1) 如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数

(2) 如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8

① 若α＝30°，β＝60°，AB的长为

② 若改变α、β的大小，但α＋β＝90°，求△ABC的面积

Answer 1

【答案】 (1) 120°；(2) ①；② .

【解析】分析：（1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；

（2）①如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，EC=BD=8，因为BC=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；

②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可求解．

本题解析：

(1)如图1，

∵AE=AB，AD=AC，

∵∠EAB=∠DAC=60，

∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，

∴∠EAC=∠DAB，

在△AEC和△ABD中，

，

∴△AEC≌△ABD(SAS)，

∴∠AEC=∠ABD，

∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，

∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120；

(2)①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE.

由(1)可知△EAC≌△BAD.

∴EC=BD.

∴EC=BD=8，

∵∠BAE=60,∠ABC=30，

∴∠EBC=90.

在Rt△EBC中，EC=8，BC=6，

∴EB=，

∴AB=BE=.

②如图2,作AH⊥BC交BC于H,过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC.并取BE的中点K，连接AK.

∵AH⊥BC于H，

∴∠AHC=90°.

∵BE∥AH，

∴∠EBC=90°.

∵∠EBC=90°，BE=2AH，

∴EC2=EB +BC =4AH +BC.

∵K为BE的中点，BE=2AH，

∴BK=AH.

∵BK∥AH，

∴四边形AKBH为平行四边形。

又∵∠EBC=90°，

∴四边形AKBH为矩形.∠ABE=∠ACD，

∴∠AKB=90.

∴AK是BE的垂直平分线。

∴AB=AE.

∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，

∴∠EAB=∠DAC，

∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，

即∠EAC=∠BAD，

在△EAC与△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD.

∴EC=BD=8.

在Rt△BCE中,BE=，

∴AH=BE=，

∴S△ABC=BCAH=3.

故答案为：2.