Question

4．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠CAB=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴正方向平移，在第一象限内B，C两点的对应点B′，C′恰好落在某反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；
（3）若把上一问中的反比例函数记为y₁，点B′，C′所在的直线记为y₂，请直接写出在第一象限内当y₁＜y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；
（3）直接从图象上找出y₁＜y₂时，x的取值范围．

解答 解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）B（0，1）．
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CN=AO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（-3，2）；

（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（-3+c，2），则B′（c，1）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
把点C′和B′的坐标分别代入y₁=$\frac{k}{x}$，
得-6+2c=c，
解得c=6，
即反比例函数解析式为y₁=$\frac{6}{x}$，
（3）此时 C′（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式y₂=mx+n，
∵$\left\{\begin{array}{l}{2=3m+n}\\{1=6m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴直线C′B′的解析式为y₂=-$\frac{1}{3}$x+3；
由图象可知反比例函数y₁和此时的直线B′C′的交点为 C′（3，2），B′（6，1），
∴若y₁＜y₂时，则3＜x＜6．

点评 本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．