Question

16．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，点E在BC上，AD=CE，CD=2AD，求证：∠CDE=∠EAB．

Answer 1

分析 过E作EF⊥AB于F，由已知条件得到△EFB是等腰直角三角形，得到EF=BF，由得到AD=CE，CD=2AD，设CE=k，则BE=2k，BC=3k，根据等腰直角三角形的性质得到BF=$\sqrt{2}$k．AB=3$\sqrt{2}$k，AF=2$\sqrt{2}$k，推出△CDE∽△FAE，于是得到结论．

解答 证明：过E作EF⊥AB于F，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∵AD=CE，CD=2AD，
∴BE=CD=2CE，
设CE=k，则BE=2k，BC=3k，
∴BF=$\sqrt{2}$k．AB=3$\sqrt{2}$k，
∴AF=2$\sqrt{2}$k，
∵∠C=∠AFE=90°，$\frac{CE}{CD}=\frac{EF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CDE∽△FAE，
∴∠CDE=∠EAB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．