Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，将△ADC绕点A顺时针旋转，至△AEB位置（AC，AB重合），延长AE、CB交于M，延长EB，AD交于N．求证：
（1）BE=BD；
（2）AM=AN．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质可得△AEB和△ADC全等，得出DC=BE，由三线合一得出DC=BD，进一步得出结论；
（2）根据旋转的性质可得△AEB和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，再结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB和△ANB全等，根据全等三角形对应边相等得出结论．

解答：证明：（1）∵△AEB由△ADC旋转而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴BE=DC，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴DC=BD，
∴BE=BD；
（2）∵△AEB由△ADC旋转而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C，
∴∠EAB=∠DAB，
∠EBA=∠DBA，
∵∠EBM=∠DBN，
∴∠MBA=∠NBA，
在△AMB和△ANB中，

∠EAB=∠DAB AB=AB ∠MBA=∠NBA

，
∴△AMB≌△ANB（ASA），
∴AM=AN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，等腰三角形三线合一的性质，证明边相等，通常利用证明两边所在的三角形全等进行证明．