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(2006•防城港)在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,使点B落在y轴的E点上,则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上(如图).
(1)求经过B,E,G三点的二次函数解析式;
(2)设直线EF与(1)的二次函数图象相交于另一点H,试求四边形EGBH的周长.
(3)设P为(1)的二次函数图象上的一点,BP∥EG,求P点的坐标.

【答案】分析:(1)根据旋转的性质可知:AG=AD,AE=AB,由此可求出E、G的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)先根据抛物线的解析式求出H点的坐标,然后根据G、F、B、H的坐标来求出四边形的周长即可.
(3)先求出直线GE的解析式,已知直线BP与GE平行,因此两直线的斜率相同,可据此求出直线BP的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标.
解答:解:(1)由题意可知,AE=AB=4,AG=AD=BC=2.
∴B(4,0),E(0,4),G(-2,0).
设经过B,E,G三点的二次函数解析式是y=a(x+2)(x-4).
把E(0,4)代入之,求得a=-
∴所求的二次函数解析式是:y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4.

(2)由题意可知,四边形AEFG为矩形.
∴FH∥GB,且GB=6.
∵直线y=4与二次函数图象的交点H的坐标为H(2,4),
∴EH=2.
∵G与B,E与H关于抛物线的对称轴对称,
∴BH=EG==2
∴四边形EGBH的周长
=2+6+2×2
=8+4

(3)易知直线EG的解析式为y=2x+4,
可是直线PB的解析式为y=2x+h,
则有8+h=0,h=-8;
∴直线BP的解析式为y=2x-8;
联合一次,二次函数解析式组成方程组
解得(此组数为B点坐标)
∴所求的P点坐标为P(-6,-20).
点评:此题的综合性较强,考查的知识点较多,但是解法较多,使试题的切入点也较多,很容易入题.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为C,抛物线的对称轴交x轴于点D,求证:点D是△ABC的外心;
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△ABP=1?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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