Question

3．如图，直线y=2x+6与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？

Answer 1

分析 （1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

解答 解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），
∴m=2×1+6=8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），∴8=$\frac{k}{1}$，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．

（2）由题意，点M，N的坐标为M（$\frac{8}{n}$，n），N（$\frac{n-6}{2}$，n），
∵0＜n＜6，
∴$\frac{n-6}{2}$＜0，
∴S_△BMN=$\frac{1}{2}$×（|$\frac{n-6}{2}$|+|$\frac{8}{n}$|）×n=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{n-6}{2}$+$\frac{8}{n}$）×n=-$\frac{1}{4}$（n-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴n=3时，△BMN的面积最大．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．