Question

如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条件①∠ABE=∠CBF；②AE=CF；③AB=AF；④BE=BF．可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各选项的条件，对各选项分析判断后再计算正确选项的个数．

解答：解：连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，
①在△ABE与△BCF中，

∠BAC=∠ACB AB=BC ∠ABE=∠CBF

，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF是菱形，故①选项正确；
②正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF是菱形，故②选项正确；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项错误；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项正确．
所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形．
故选C．

点评：本题综合考查了正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，三角形全等的判定和全等三角形对应边相等，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解题的关键．