Question

17．已知：直线L：y=2x-3与抛物线c：y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$
（1）求证：抛物线c与直线L无交点
（2）若与直线L平行的直线与抛物线c只有一个公共点P，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立方程组消去y可得关于x的方程，由根的判别式的值小于0得出方程组无实数根，即可得证；
（2）设与直线L平行的直线为y=2x+m，联立方程组消去y得出关于x的方程，根据两函数图象只有1个交点即b²-4ac=0，得出关于m的方程，求得m的值，继而可得直线和抛物线的交点．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+3x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
消去y得：$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$=2x-3，即x²+2x+11=0，
∵b²-4ac=4-4×1×11=-40＜0，
∴该方程无实数根，即方程组无解，
故抛物线c与直线L无交点；

（2）设与直线L平行的直线为y=2x+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+3x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
消去y，整理得：x²+2x+5-2m=0，
∵直线与抛物线c只有一个公共点P，
∴b²-4ac=4-4×1×（5-2m）=0，
解得：m=2，
即方程组为x²+2x+1=0，
解得：x=-1，
将x=-1代入y=2x+2中得y=0，
∴点P的坐标为（-1，0）．

点评 本题考查了二次函数的性质，根据只有一个交点，关于x的方程有两个相等的实数根求出x的值是解题的关键．