Question

15．（1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠BCD=90°，AB=5，AD=4，求AC长；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求AC长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点D作DE⊥AB交AB于点E，在△ADE中，求出DE，再在Rt△ABC中利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC交BC于点M，过点D作DN⊥AB交AB于点N．在△ADN中，求出AN、DN，再在在Rt△CDM中求出CM，求出BC即可解决问题；

解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠DEB=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵在△ADE中，∠DAB=60°，∠DEA=90°，AD=4，
∴AE=2，DE=CB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=5，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{37}$，

（2）如图2，过点D作DM⊥BC交BC于点M，过点D作DN⊥AB交AB于点N．
∵∠ABC=90°，∠DMB=90°，∠DNB=90°，
∴四边形BMDN为矩形，
在△ADN中，∵∠DAB=60°，∠DNA=90°，AD=4，
∴AN=2，DN=CB=2$\sqrt{3}$，
∵AB=5     BN=3，
∴在Rt△CDM中：∠DCB=60°，∠DMC=90°，DM=BN=5-2=3，
∴CM=$\sqrt{3}$，
∵在Rt△ABC中：∠B=90°，AB=5，BC=CM+BM=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．