Question

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的个数是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的性质得到△ABE≌△ADG，再利用SSS证明△AGF≌△AEF，进而得出③正确；
由△AGF≌△AEF，得出∠1=∠2，根据角平分线的性质得出AD=AH，则AH=AB，再由角平分线的判定得出AE平分∠BEF，故①正确；
由AE平分∠BEF及等角的余角相等得出∠BAE=∠HAE，再根据角平分线的性质得出BE=HE，再结合已知条件EF=BE+DF及BE=DG即可得出FH=FD，故②正确；
根据△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，即可得出S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF，故④正确；
由EF=HE+FH，BE=HE，FH=FD，得出EF=BE+FD，则△CEF的周长=BC+CD，进而求出△CEF的周长为2，故⑤正确．

解答：解：如图：把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADG=90°，AE=AG，BE=DG，
∴∠FDG=∠FDA+∠ADG=90°+90°=180°，
∴F、D、G三点共线．
∵EF=BE+DF，
∴EF=DG+DF=GF．
∵在△AGF与△AEF中，

AG=AE GF=EF AF=AF

，
∴△AGF≌△AEF（SSS），
∴∠GAF=∠EAF，∠1=∠2，
∵∠GAF+∠EAF=∠EAG=90°，
∴∠EAF=

1

2

×90°=45°，故③正确；
∵∠1=∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H，
∴AD=AH，
∵AD=AB，
∴AH=AB，
又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B，
∴AE平分∠BEF，故①正确；
∵AE平分∠BEF，
∴∠AEB=∠AEH，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠BAE=∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B，
∴BE=HE，
∵BE=DG，
∴HE=DG，
∵EF=HE+FH，GF=DG+FD，EF=GF，
∴FH=FD，故②正确；
∵△AEF≌△AGF，
∴S_△EAF=S_△GAF．
∵△ABE≌△ADG，
∴S_△GAF=S_△ADG+S_△ADFS_△ABE+S_△ADF，
∴S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF，故④正确；
∵EF=HE+FH，BE=HE，FH=FD，
∴EF=BE+FD，
∴△CEF的周长=EF+EC+CF=BE+FD+EC+CF=BC+CD=2AB=2，故⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的判定与性质，三角形的周长与面积，综合性较强，难度适中，根据旋转的性质作出辅助线是解题的关键．