Question

3．感知：如图1，已知正方形ABCD，以AD、CD为一边向外作等边△ADE和等边△CDF，连接BE、EF、FB，易证△BEF是等边三角形（不用证明）；
探究：将感知条件中的正方形ABCD改为矩形ABCD，如图2，其他条件不变，那么△BEF是等边三角形吗？说明理由；
应用：将感知条件中的正方形ABCD改为?ABCD，如图3，其他条件不变，则∠BEF=60度．

Answer 1

分析 感知：利用SAS即可证明两三角形的全等，再证明△ABE≌△DFE，可得△BEF是等边三角形；
探究：求出∠BAE，∠EDF，∠FCB的度数，继而证明△ABE≌△CFB≌△DFE，即可得出结论；
应用：证明方法与探究完全相同，证出结论即可．

解答 解：感知：证明：∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS）．
∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴BE=FE，
又∵△ABE≌△CFB，
∴BE=FB=FE，
∴△BFE是等边三角形；

探究：△BEF是等边三角形，理由如下：
∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS），
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴△ABE≌△CFB≌△DFE，
∴BE=EF=FB，
∴△BEF是等边三角形；

应用：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵△ADE和△CDF是等边三角形，
∴AE=AD=BC，AB=DC=CF，
在△ABE与△FCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠BAF=∠FCB}\\{AB=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCB，
∴BE=BF，
∵∠BAE=∠BAD+∠EAD=∠BAD+60°，
∠EDF=360°-∠ADC-∠ADE-∠CDF=∠BAD+60°，
∴∠EDF=∠BAE，
在△ABE与△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠EDF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EDF，
∴BE=EF，∠AEB=∠DEF，
∴∠BEF=60．
故答案为：60°．

点评 本题考查了四边形的综合，涉及了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键之处在于判断∠BAE=∠EDF=∠FCB，难度一般．