分析 (1)①利用SAS证全等;
②易证得:BC∥FH和CH=HE,根据平行线分线段成比例定理得BF=EF,也可由三角形中位线定理的推论得出结论.
(2)作辅助线构建平行线和全等三角形,首先证明△MAE≌△DAC,得AD=AM,根据等量代换得AB=AM,根据②同理得出结论.
解答 证明:(1)①如图1,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠2}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴$\frac{BF}{FE}$=$\frac{CH}{HE}$=1,
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN∥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠CAD}\\{AE=AC}\\{∠3=∠ACH}\end{array}\right.$
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{AB}{AM}$=1,
∴BF=EF.
点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线分线段成比例的性质,本题的关键是能正确找出全等三角形;在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是:①证明相等线段所在的三角形全等;②利用相等线段的比值为1证相等.
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A. | $\sqrt{-{2^2}}$ | B. | $\root{3}{{-{2^2}}}$ | C. | $\sqrt{{{(-2)}^2}}$ | D. | $\root{3}{{{{(-2)}^2}}}$ |
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