Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：BC²=BD•BE；
（3）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

解：（1）AB与⊙O相切，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB与⊙O相切

（2）连接OC，∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴BC²=BD•BE；

（3）∵，∠ECD=90°，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴，设BC=x，
∴，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²，
∴9+x²=（2x-3）²，
∴x₁=0（舍去），x₂=4，
∴OA=OB=5．
分析：（1）根据题目给的OA=OB，CA=CB的条件，很容易证明直线AB与⊙O的位置关系是相切．
（2）连接AC，根据题目所给的条件去证明△BCD∽△BEC，问题可解．
（3）设BC的长是x，因为△BCD∽△BEC，根据相似三角形的对应边成比例，可求出OB=OA=2x-3，根据勾股定理可求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及切线的判定和性质，关键是熟记这些性质定理和判定定理．