Question

1．已知二次函数的图象如图所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、B（2，0）、C（0，-2）．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，将△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并利用配方法求顶点M的坐标；
（2）如图1，先求直线BM的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x-3，设N（h，-t），因为点N在线段MB上运动，所以把点N（h，-t）代入y=$\frac{3}{2}$x-3得：h=2-$\frac{2}{3}$t，其中$\frac{1}{2}$＜h＜2，最后根据面积和求四边形NQAC的面积为S，并求出t的取值；
（3）存在，设点P（m，n），因为点P在抛物线上，则n=m²-m-2，根据两点距离公式可得：PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，分三种情况进行讨论：若△PAC为直角三角形时，分以下三种情况：①当∠ACP=90°时，②当∠PAC=90°时，③由图象观察得，当点P在对称轴的右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能为90°，分别根据勾股定理列方程求得m和n的值，写出P的坐标；
（4）如图4，根据A和C的坐标直接得出另一矩形顶点D（-1，-2）；
如图5，作辅助线，构建直角直角三角形，根据同角的三角函数先求ON的长，再求DF的长和AF的长，所以OF=1-AF，得出点D的坐标，同理，在直角△OCE中，根据面积法先求ME的长，根据三角函数列比例式求OM的长，则可以得到E的坐标，从而得出结论．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把（0，-2）代入得：-2=a（0+1）（0-2），
a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴二次函数的解析式为：y=x²-x-2，顶点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）如图1，设线段BM的解析式为：y=kx+b，
把B（2，0）、M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{\frac{1}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴线段BM所在的直线解析式为：y=$\frac{3}{2}$x-3，
设N（h，-t），
把点N（h，-t）代入y=$\frac{3}{2}$x-3得：$\frac{3}{2}$h-3=-t，
h=2-$\frac{2}{3}$t，其中$\frac{1}{2}$＜h＜2，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$（2+t）（2-$\frac{2}{3}$t）=-$\frac{1}{3}{t}^{2}$+$\frac{1}{3}$t+3，
则S与t之间的函数关系式为：S=-$\frac{1}{3}{t}^{2}$+$\frac{1}{3}$t+3，
∵顶点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴QN的最大值为$\frac{9}{4}$，
∴自变量t的取值范围为0＜t＜$\frac{9}{4}$；
（3）存在，
设点P（m，n），则n=m²-m-2，
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
若△PAC为直角三角形时，分以下三种情况：
①当∠ACP=90°时，如图2，则PA²=AC²+PC²，
得（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5，
解得：m₁=0（舍去），m₂=$\frac{3}{2}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，n=（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
②当∠PAC=90°时，如图3，则PC²=PA²+AC²，
得：m²+（n+2）²=（m+1）²+n²+5，
解得：m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=-1（舍去），
当m=$\frac{5}{2}$时，n=（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{5}{2}$-2=$\frac{7}{4}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
③由图象观察得，当点P在对称轴的右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能为90°，
综上所述，点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
（4）如图4，矩形ADCO，
∵A（-1，0），C（0，-2）
∴D（-1，-2）
如图5，矩形ACED，
过D作DF⊥x轴于F，过E作EM⊥y轴于M，过O作ON⊥AC于N，
sin∠OAC=$\frac{ON}{OA}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{ON}{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴ON=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=ON=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cos∠ADF=cos∠OAC=$\frac{DF}{AD}=\frac{OA}{AC}$，
∴$\frac{DF}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{2}{5}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}-（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴OF=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴D（-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
同理得：E（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
综上所述，矩形的未知的顶点坐标是（-1，-2）或（-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$）
或（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的求法，以及顶点坐标的计算，四边形面积的计算，矩形的性质等，综合性较强；当一个三角形是直角三角形时，有两个定点，一个动点，要分三种情况进行讨论，分别让三个顶点为直角顶点时，根据条件进行计算．