Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点 M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD、BC．

（1）求证：AB＝BE；

（2）若BE＝3，OC＝，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；
（2）根据题意得出∠ABC=90°，求出AC，AB的值，再利用勾股定理即可得到结论．

（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°．
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE；
（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2OC＝5，AB＝BE＝3，
∴BC＝．