Question

如图，已知C在⊙O上，过点C的切线与直径AB的延长线交于点E，过点A作EC的垂线交直线EC于D，与⊙O交于点F，连结AC、CF．求证：AC²＝AE·AF．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结BF，则∠BFA＝， 　　∴BF∥ED． 　　∴∠E＝∠ABF＝∠ACF． 　　又∵∠EAC＝∠BFC＝∠FCD， 　　且∠FCD＝∠CAF， 　　∴∠EAC＝∠CAF． 　　∴△AEC∽△ACF． 　　∴＝． 　　∴AC2＝AE·AF．

提示：

寻求几何问题证题思路的常用方法是分析法，即假设命题的结论成立，若能由此逐步推导到已知条件或熟知的定理，且这些推理过程是互逆的，那么它的证题思路就算找到了．比如本题，要证AC2＝AE·AF成立，因这些线段分别是△AEC和△ACF的对应边，故只须证这两个三角形相似；而要证它们相似，只须证它们有两对对应角相等．至此，问题转化为“证明△AEC和△ACF的对应角相等”．在这些角中，除∠E外，它们都是⊙O的圆周角或弦切角．为便于比较，最好把∠E也转化为圆周角或弦切角，而实现这一转化的最方便做法是作辅助残BF．当然，也可以运用弦切角定理来证明它们另一对较大的角(∠ACE和∠AFC)相等，同样可证明△AEC∽△ACF．