Question

4．如图，正五边形的边长为2，连对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，则MN=3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代换得到AN²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD
∴AN²=AM•AD；
∴2²=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-$\sqrt{5}$；
故答案为：3-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．