Question

9．类比运用
（1）已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若CB=AC，求∠ABC和∠BAC的度数；（说明：直接利用等腰三角形的性质不给分）
（2）请你根据解决上面问题的经验，完成下面的问题：如图2，在边长都相等的一个5×5的正方形网格中，四边形ABCD、DCEF、FEGH均为正方形（四条边都相等，四个角都是直角），请“构造全等三角形”求∠AEB+∠AGB度数．在图中画出辅助线，并直接写出它们的度数和为45度．

Answer 1

分析 （1）如图（1），过C作CD⊥AB于D，得到∠ADC=∠BDC=90°，推出Rt△ACD≌Rt△BCD，于是得到∠A=∠B，然后根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图（2），连接AC根据正方形的性质得到∠ACB=45°，设四边形ABCD、DCEF、FEGH的边长为1，推出△ACE∽△GCA，得到∠AEC=∠CAG，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图（1），过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD与Rt△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°；

（2）如图（2），连接AC，
∵四边形ABCD、DCEF、FEGH均为边长都相等的正方形，
∴∠ACB=45°，
设四边形ABCD、DCEF、FEGH的边长为1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ACE=∠GCA，
∴△ACE∽△GCA，
∴∠AEC=∠CAG，
∵∠ACB=∠CAG+∠AGB=∠AEB+∠AGB，
∴∠AEB+∠AGB=45°．
故答案为：45．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．