Question

如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，BD与CE交于点O．点F、G分别是线段BO、CO的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如图2，若AO=BC，求证：四边形DEFG是菱形；
（3）若AB=AC，且AO=BC=6，直接写出四边形DEFG的面积．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）由中位线定理，可得ED∥BC，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答；
（2）根据三角形中位线定理推知平行四边形DEFG的邻边相等（EF=FG）即可证得结论；
（3）如图2，AO∥EF∥DG；若△ABC为等腰三角形时，则OA和BC垂直，进而求出即可．

解答：证明：（1）如图1点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，且ED=

1

2

BC．
同理，FG是△OBC的中位线，
∴FG∥BC且FG=

1

2

BC，
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）∵点E、F分别是AB、OB的中点，
∴EF是△ABO的中位线，
∴EF=

1

2

OA．
由（1）知，FG=

1

2

BC．
∵OA=BC，
∴EF=FG．
又由（1）知，四边形DEFG是平行四边形，
∴?DEFG是菱形；

（3）如图2，∵E、F、G、D分别是AB、BO、CO、AC中点，
∴AO∥EF∥DG，
∴当AB=AC时，
∴AO⊥BC，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴EF⊥FG；
∴此时四边形DEFG是矩形．
∴S_{四边形DEFG}=FG•EF=

1

2

×6×

1

2

×6=9．

点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．