Question

如图，一次函数y=-

3

4

x+m的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，二次函数y=-

1

4

x2+bx+6的图象经过A、B两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果点C在这个二次函数的图象上，且点C的横坐标为5，求tan∠CAB的值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可求出B点的坐标，根据B点的坐标即可确定一次函数的解析式；
（2）根据（1）题所得一次函数的解析式，可求出A点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可求出该二次函数的解析式；
（3）欲求∠CAB的正切值，需将其构建到直角三角形中求解；过C作CH⊥AB于H，在Rt△AHC中，∠CAB的正切值等于CH、AH的比，那么关键是求出CH、AH的长；根据抛物线的解析式，可求出A、C的坐标，即可得到AB、BC、OA的长；易证得△CBH∽△BAO，根据相似三角形得到的比例线段，即可求出CH、BH的长，进而可求出AH的长，由此得解．

解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（0，6）；（1分）
∴m=6；（1分）
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x+6；（1分）

（2）由题意，得点A的坐标为（8，0）；（1分）
∴0=-

1

4

×82+8b+6，
∴b=

5

4

；（1分）
∴二次函数的解析式为y=-

1

4

x2+

5

4

x+6；（1分）

（3）∵点C在这个二次函数的图象上，且点C的横坐标为5，
∴y=-

1

4

×52+

5

4

×5+6=6；
∴点C的坐标为（5，6）；（1分）
作CH⊥AB，垂足为点H；（1分）
∵点B与点C的纵坐标相等，
∴BC∥x轴；
∴∠CBH=∠BAO；（1分）
又∵∠CHB=∠BOA=90°，
∴△CHB∽△BOA，
∴

CH

BC

=

BO

AB

；
∵OB=6，OA=8，
∴AB=10；
∴

CH

5

=

6

10

；（1分）
∴CH=3，BH=4，AH=6；（1分）
∴tan∠CAB=

3

6

=

1

2

．（1分）

点评：此题考查了函数图象上点的坐标意义，一次函数、二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．