Question

11．已知直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、y轴的交点分别为A，B，等腰直角三角形OCD的一个顶点在坐标原点，另两个顶点C（x₁，y₁）和D（x₂，y₂）均在直线AB上，且x₁＜x₂．
（1）求线段AB的长；
（2）画出所有符合题意的△OCD（不需要尺规作图）；
（3）求出所有符合题意的点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，然后利用勾股定理即可求得AB的长；
（2）分成C是直角顶点和锐角顶点进行讨论，即可作出图形；
（3）首先利用三角函数求得∠BAO的度数，在图（1）中，过C作CE⊥x轴于点E，利用三角函数求得CE和OE的长，则C的坐标即可求得；图（2）中，△OCD是等腰直角三角形，求得AC的长，作CF⊥x轴，求得CF和OF的长，则C的坐标即可求得；图（3）中，C的坐标与图（2）相同．

解答 解：（1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$中，令x=0，则y=2$\sqrt{3}$，则B的坐标是（0，2$\sqrt{3}$），即OB=2$\sqrt{3}$．
在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$中，令y=0，则x=-6，则A的坐标是（-6，0），则OA=6．
在直角△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
（2）
；
（3）∵在直角△OAB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°，
在图（1）中，OC=$\frac{1}{2}$OA=3，
过C作CE⊥x轴于点E．∠COE=60°，
则OE=OC•cos∠COE=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，CE=OC•sin∠COA=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则C的坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），AD=OA•cos∠BAO=6×cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
在图（2）中，AD=3$\sqrt{3}$，CD=OD=3，
则AC=3$\sqrt{3}$-3．
过C作CF⊥x轴于点F．
在直角△ACF中，CF=AC•sin∠BAO=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-3）=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
AF=AC•cos∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3$\sqrt{3}$-3）=$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$，
则OF=OA-AF=6-$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$．
则C的坐标是（-$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．
图（3）中，C的坐标与图（2）中C的坐标相同．
总之，C的坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（-$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

点评 本题考查了一次函数与直角三角形的综合应用，正确对图形进行讨论，求得图（1）中C的坐标是关键．