Question

【题目】已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．

（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；

（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；

①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①y=（＜x＜10）；②或．

【解析】

（1）由菱形性质知DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分，证平行四边形DBFC得BF=DC=AB=10及∠CAB=∠BCA，由EF⊥BC知∠CAB=∠BCA=∠CFE，据此知△AFC∽△FEC，从而得出FC2=CEAC，即FC2=2AE2，据此可得答案；

（2）①连接OB，由AB=BF、OE=OF知OB∥AC、OB=AE=EC=x，据此得==及EH=EO，根据EO2=BE2+OB2=-x2+100可得答案；②分GD=GE和DE=DG两种情况分别求解可得．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分，

∵CF∥DB，

∴四边形DBFC是平行四边形，

∴BF=DC=AB=10，

∴∠CAB=∠BCA，

当EF⊥BC时，∠CAB=∠BCA=∠CFE，

∴Rt△AFC∽Rt△FEC，

∴FC2=CEAC，即FC2=2AE2，

Rt△ACF中，CF2+AC2=AF2，2AE2+4AE2=400，

解得：AE=；

（2）①如图，连接OB，

则AB=BF、OE=OF，

∴OB∥AC，且OB=AE=EC=x，

∴==，

∴EH=EO，

在Rt△EBO中，EO2=BE2+OB2=（）2+（x）2=﹣x2+100，

∴y=EO=（＜x＜10）；

②当GD=GE时，有∠GDE=∠GED，

∵AC⊥DB，∠DEC=90°，

∴∠GCE=∠GEC，

∴GE=GC，

∴GD=GC，即G为DC的中点，

又∵EO=FO，

∴GO是梯形EFCD的中位线，

∴GO==DE，

∴y=，

∴=，

解得：x=；

如图2，当DE=DG时，连接OD、OC、GO，

在△GDO和△EDO中，

∵，

∴△GDO≌△EDO（SSS），

∴∠DEO=∠DGO，

∴∠CGO=∠BEO=∠OFC，

∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF，

∴GC=CF，

∴DC=DG+GC=DE+2DE=10，

即3=10，

解得：x=，

综上，AE的长为或．