Question

13．已知，如图直线l₁的解析式为y=x+1，直线l₂的解析式为y=ax+b（a≠0）；这两个图象交于y轴上一点C，直线l₂与x轴的交点B（2，0）
（1）求a、b的值；
（2）过动点Q（n，0）且垂直于x轴的直线与l₁、l₂分别交于点M、N都位于x轴上方时，求n的取值范围；
（3）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）先确定出点C的坐标，进而求出b，再将点B（2，0）代入直线l₂的解析式中即可求出b；
（2）先确定出点A的坐标，根据题意即可得出n的范围；
（3）分三种情况讨论计算即可得出结论．

解答 解：（1）∵点C是直线l₁：y=x+1与轴的交点，
∴C（0，1），
∵点C在直线l₂上，
∴b=1，
∴直线l₂的解析式为y=ax+1，
∵点B在直线l₂上，
∴2a+1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$；

（2）由（1）知，l₁的解析式为y=x+1，令y=0，
∴x=-1，
由图象知，点Q在点A，B之间，
∴-1＜n＜2
（3）如图，
∵△PAC是等腰三角形，
∴①点x轴正半轴上时，当AC=P₁C时，
∵CO⊥x轴，
∴OP₁=OA=1，
∴BP₁=OB-OP₁=2-1=1，
∴1÷1=1s，
②当P₂A=P₂C时，易知点P2与O重合，
∴BP₂=OB=2，
∴2÷1=2s，
③点P在x轴负半轴时，AP₃=AC，
∵A（-1，0），C（0，1），
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴AP₃=$\sqrt{2}$，
∴BP₃=OB+OA+AP₃=3+$\sqrt{2}$或BP₃=OB+OA-AP₃=3-$\sqrt{2}$，
∴（3+$\sqrt{2}$）÷1=（3+$\sqrt{2}$）s，或（3-$\sqrt{2}$）÷1=（3-$\sqrt{2}$）s，
即：满足条件的时间t为1s，2s，或（3+$\sqrt{2}$）或（3-$\sqrt{2}$）s．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，分类讨论的思想，解（1）的关键是求出点A的坐标，解（2）的关键是借助图象确定出点Q在点A和点B之间，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道常规题．