Question

15．如图，在直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．
（1）直接写出B，C，D点的坐标；
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上，求出这个抛物线的解析式及它的顶点坐标．
（3）若圆A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过B、C、D三点所在抛物线的顶点？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由垂径定理可求得OD的长，可求得D点的坐标，由半径和A点坐标可求得B、C的坐标；
（2）利用待定系数法可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（3）连接AP，在Rt△APM中，可求得OM的长，可求得M点的坐标，从而可求得ON的长，可求得N点坐标，从而可求得直线MN的解析式，再把抛物线的顶点坐标代入进行判断即可．

解答 解：
（1）如图1，连接AD，得OA=1，AD=2，

∴OD=$\sqrt{A{D^2}-O{A^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$，
∴D（0，-$\sqrt{3}$），
∵点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆，
与x轴交于B、C两点，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）∵B（-1，0），C（3，0），D（0，-$\sqrt{3}$），
∴将B，C，D三点代入抛物线y=ax²+bx+c得 $\left\{\begin{array}{l}0=a-b+c\\ 0=9a+3b+c\\-\sqrt{3}=c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ c=-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$；
∵$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{（x-1）^2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$）；

（3）如图2，连接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2，

∴AM=4，
∴M（5，0），
∵ON=MO×tan30°=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
∴N（0，-$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
由于点M（5，0）和N（0，-$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$）在直线MN上，则$\left\{\begin{array}{l}5k+b=0\\ b=-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
∵当x=1时，y=-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴点（1，-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$）在直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$上，
即直线MN经过抛物线的顶点．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识．在（1）中求D点坐标时注意利用垂径定理，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中求得M、N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．