Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0）．如图所示，B点在抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意推出∠BCD=∠COA，然后BC=AC，根据全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定△BDC≌△COA；
（2）首先（1）所得的结论，即可推出OC=BD=1，即可得B点的纵坐标，设出直线的函数关系式，把B，C两点的坐标代入，求出k、b，即可推出结论；
（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析①以AC为直角边，A点为直角顶点，根据题意推出P₁点为BC与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC的解析式和抛物线的解析式，即可推出P₁点的坐标，②以AC为直角边，C点为直角顶点，做AP₂⊥AC，设与抛物线的对称轴交于P₂点，确定点P₂的位置，由OA=CD，即可推出A点的坐标，根据AP₂∥BC，即可推出直线AP₂的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出P₂的坐标．

解答：（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）解：∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C点的坐标为（-1，0），
∴BD=OC=1，
∴B点的纵坐标为1，
∵B点的横坐标为-3，
∴B点的坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
∴解方程组得

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴直线BC所在直线的解析式为：y=-

1

2

x-

1

2

，

（3）解：存在，
∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函数的对称轴为x=-

1

2

，
①若以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP₁⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P₁点为直线BC与对称轴直线x=-

1

2

的交点，
∵直线BC所在直线的解析式为：y=-

1

2

x-

1

2

，
∴

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
∴解得

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁点的坐标为（-

1

2

，-

1

4

）；
②若以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P₂，使AP₂⊥AC，
∴过点A作AP₂∥BC，交对称轴直线x=-

1

2

于点P₂，
∵OD=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A点的坐标为（0，2），
∴直线AP₂的解析式为y=-

1

2

x+2，
∴

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
∴解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂点的坐标为（-

1

2

，

9

4

），
∴P点的坐标为P₁（-

1

2

，-

1

4

）、P₂（-

1

2

，

9

4

）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根据（1）的结论，推出B点的坐标，（3）注意分情况讨论，①若以AC为直角边，C点为直角顶点，推出P₁点为直线BC与对称轴直线x=-

1

2

的交点，②若以AC为直角边，A点为直角顶点，由A点的坐标，求出直线AP₂的解析式．