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在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜精英家教网靠在两坐标轴上,点C为(-1,0).如图所示,B点在抛物线y=
1
2
x2+
1
2
x-2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.
(1)求证:△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)首先根据题意推出∠BCD=∠COA,然后BC=AC,根据全等三角形的判定定理“AAS”定理,即可判定△BDC≌△COA;
(2)首先(1)所得的结论,即可推出OC=BD=1,即可得B点的纵坐标,设出直线的函数关系式,把B,C两点的坐标代入,求出k、b,即可推出结论;
(3)首先根据二次函数表达式,求出抛物线的对称轴,然后分情况进行分析①以AC为直角边,A点为直角顶点,根据题意推出P1点为BC与抛物线的对称轴的交点,根据直线BC的解析式和抛物线的解析式,即可推出P1点的坐标,②以AC为直角边,C点为直角顶点,做AP2⊥AC,设与抛物线的对称轴交于P2点,确定点P2的位置,由OA=CD,即可推出A点的坐标,根据AP2∥BC,即可推出直线AP2的解析式,结合抛物线对称轴的解析式,即可推出P2的坐标.
解答:精英家教网(1)证明:∵AC⊥BC,BD⊥CD,
∴∠BDC=∠COA=90°,∠ACO+∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠OAC,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴BC=AC,
∵在△BDC和△COA中
∠BDC=∠COA=90°
∠BCD=∠OAC
BC=AC

∴△BDC≌△COA(AAS),

(2)解:∵△BDC≌△COA,
∴BD=CO,
∵C点的坐标为(-1,0),
∴BD=OC=1,
∴B点的纵坐标为1,
∵B点的横坐标为-3,
∴B点的坐标为(-3,1),
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,
-k+b=0
-3k+b=1

∴解方程组得
k=-
1
2
b=-
1
2

∴直线BC所在直线的解析式为:y=-
1
2
x-
1
2


(3)解:存在,
∵抛物线的解析式为:y=
1
2
x2+
1
2
x-2,
∴y=
1
2
x2+
1
2
x-2
=
1
2
(x+
1
2
2-
17
8

∴二次函数的对称轴为x=-
1
2

①若以AC为直角边,C点为直角顶点,做CP1⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴P1点为直线BC与对称轴直线x=-
1
2
的交点,
∵直线BC所在直线的解析式为:y=-
1
2
x-
1
2

y=-
1
2
x-
1
2
x=-
1
2

∴解得
x=-
1
2
y=-
1
4

∴P1点的坐标为(-
1
2
,-
1
4
);
②若以AC为直角边,A点为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,
∴过点A作AP2∥BC,交对称轴直线x=-
1
2
于点P2
∵OD=3,OC=1,
∴OA=CD=2,
∴A点的坐标为(0,2),
∴直线AP2的解析式为y=-
1
2
x+2,
y=-
1
2
x+2
x=-
1
2

∴解得:
x=-
1
2
y=
9
4

∴P2点的坐标为(-
1
2
9
4
),
∴P点的坐标为P1(-
1
2
,-
1
4
)、P2(-
1
2
9
4
).
点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质,待定系数法求出抛物线的解析式,根据解析式求点的坐标,关键在于(1)推出∠BCD=∠OAC,(2)根据(1)的结论,推出B点的坐标,(3)注意分情况讨论,①若以AC为直角边,C点为直角顶点,推出P1点为直线BC与对称轴直线x=-
1
2
的交点,②若以AC为直角边,A点为直角顶点,由A点的坐标,求出直线AP2的解析式.
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0°(或360°的整数倍)
,k=
2

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