如图.平面直角坐标系xOy中.点A的坐标为.点B的坐标为(6.6).抛物线经过A.O.B三点.连接OA.OB.AB.线段AB交y轴于点E．(1)求抛物线的函数解析式,(2)点F为线段OB上的一个动点.直线EF与抛物线交于M.N两点.连接ON.BN.当点F在线段OB上运动时.求△BON 面积的最大值.并求出此时点N的坐标,(3)当△BON面积最大时.连接AN.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（3）当△BON面积最大时，连接AN，若点P坐标平面内，并使得△BOP∽△OAN（点B、O、P分别与点O、A、N对应），请直接写出点P的坐标．

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；
（3）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6

，OA=2

，AN=

，ON=

，这样可求出OP=

，BP=

，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．

解答：

解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得

4a-2b+c=2

36a+6b+c=6

c=0

，
解得

b=-

c=0

，
∴y=

x²-

x，

（2）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，
联立

x2 -

y=x+m

，得x²-6x-4m=0，
当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到OB的距离最大，所以△BON面积最大，
解得m=-

，x=3，y=

，即N（3，

）；
此时△BON面积=

×6×6-

（

+6）×3-

×3=

；

（3）过点A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，

），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=

，NS=

，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=

，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠BON，
∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，

），
∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，

），B（6，6），
∴BO=6

，OA=2

，AN=

，ON=

，
∴OP=

，BP=

，
设P点坐标为（4x，x），
∴16x²+x²=（

）²，
解得x=

，4x=15，
∵P、P′关于直线y=x轴对称，
∴P点坐标为（15，

）或（

，15）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．

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