Question

17．如图1，抛物线y=ax²+bx-3a与x轴交于点A（-1，0），B（x₂，0），与y轴负半轴交于点C，且tan∠OBC=1，抛物线的顶点是点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，F为x轴上一点，连接CF交BD于点E，当BE=CE时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（1）中的抛物线的第一象限部分是否存在点G，连接CG，使得∠BCG=∠ACO？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可用a分别表示出C、B的坐标，利用待定系数法可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；
（2）延长BD交y轴于点K，由条件可证得△BOK≌△COF，可得OK=OF，利用待定系数法可求得直线BD的解析式，则可求得K点坐标，可求得F点的坐标；
（3）过B作BM⊥BC交CG于点M，过B作PQ∥y轴，过M作MN⊥PQ于点N，过C作CH⊥PQ于点H，可证明△MBN∽△BCH，可求得M点坐标，利用待定系数法可求得直线CM的解析式，联立直线CM和抛物线解析式可求得G点坐标．

解答 解：
（1）∵tan∠OBC=1，
∴∠OBC=45°，
∴OB=OC，
∵C（0，-3a），
∴B（3a，0），且A（-1，0），
代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3a=0}\\{9{a}^{3}+3ab-3a=0}\end{array}\right.$，解得a=1或a=-$\frac{1}{3}$（舍去）或a=0（舍去），
∴a=1，b=-2，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）如图1，延长BD交y轴于点K，

∵BE=CE，
∴∠CBE=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBE=∠OCF，
在△BOK和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBK=∠OCF}\\{∠BOK=∠COF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$
∴△BOK≌△COF（AAS），
∴OF=OK，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），且B（3，0），
设直线BD解析式为y=kx+m，把B、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{k+m=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=-6}\end{array}\right.$，
∴直线BD解析式为y=2x-6，
∴K（0，-6），
∴OF=OK=6，
∴F（6，0）；
（3）存在．
如图2，过B作BM⊥BC交CG于点M，过B作PQ∥y轴，过M作MN⊥PQ于点N，过C作CH⊥PQ于点H，

则∠MBN+∠CBH=∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠MBN=∠BCH，且∠MNB=∠BHC=90°，
∴△MBN∽△BCH，
∵∠BCG=∠ACO，
∴tan∠BCG=tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{MN}{BH}$=$\frac{NB}{CH}$=$\frac{MB}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵BH=CH=3，
∴MN=NB=1，
∴M（2，1），
∵C（0，-3），
∴可设直线CM解析式为y=sx-3，
∴2s-3=1，解得s=2，
∴直线CM解析式为y=2x-3，
联立直线CM与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得x=0（舍去）或x=4，
∴G（4，5），
即存在满足条件的点G，其坐标为（4，5）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、函数图象的交点等知识．在（1）中用a表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得G点坐标是解题的关键，在（3）中构造三角形相似求得M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．