Question

探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

x+y= 7 2 xy=3

，消去y化简得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=

 

，x₂=

 

．∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形A的两边长为

 

和

 

；
②满足条件的矩形B的两边长为

 

和

 

．

Answer 1

分析：（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简再根据方程的判别式解答即可；
（3）同（2）；
（4）由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为y=

4

x

，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出m，n的值即可．同理可求出满足条件的矩形B的两边长．

解答：解：（1）解此方程得．x₁=2和x₂=

3

2

；

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
由题意得方程组

x+y= 3 2 xy=1

，
消去y化简得：2x²-3x+2=0，
∵△=9-16＜0，
∴不存在矩形B．

（3）满足（m+n）²-8mn≥0时，矩形B存在．
由题意得方程组

x+y= m+n 2 xy= mn 2

，
消去y化简得：2x²-（m+n）x+mn=0，
∴△=（m+n）²-8mn≥0．

（4）①1和8．
由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，
反比例函数解析式为y=

4

x

，
组成方程组得到

y=-x+4.5 y= 4 x

，
整理得x²-4.5x+4=0，
∴x₁+x₂=4.5，
x₁x₂=4，
于是

m+n=9 mn=8

，
得

m=8 n=1

或

m=1 n=8

，
②

9+ 17

4

和

9- 17

4

．
由题意知

x+y=4.5 xy=4

，
解得

x= 9+ 17 4 y= 9- 17 4

，或

x= 9- 17 4 y= 9+ 17 4

．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．