Question

【题目】(1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．

为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为_____；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为_____，综上可得∠BPC的度数为_____；

(2)类比迁移

如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠APC的度数；

(3)拓展应用

如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．

Answer 1

【答案】（1）2；30°；90°；（2）∠APC=90°；（3）BD=．

【解析】

（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；

（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．

解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．

由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；

∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，

在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠P′AP=90°．

∵PA=PC，

∴∠AP′P=30°；

∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．

故答案为：2；30°；90°；

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；

∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，

在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠AP′P=90°．

∴∠APP'=45°

∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°

（3）如图3，

∵AB=AC，

将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=2AB，

∴DG=2BC=6，

过A作AE⊥BC于E，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG=，

∴BD=CG=．