Question

一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax²+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，y_N）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
解答：解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（-10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y=ax²+c，得
解得．
所以抛物线的表达式是；

（2）可设N（5，y_N），于是．
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米；

（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），
（7=2÷2+2×3）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=-×7²+6=3+＞3．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．